Question

如图，AB切⊙O于点B，OA交⊙O于C点，过C作DC⊥OA交AB于D，且BD：AD=1：2．
（1）求∠A的正切值；
（2）若OC=1，求AB及的长．

Answer 1

解：（1）（方法一）∵DC⊥OA，OC为半径．
∴DC为⊙O的切线；
∵AB为⊙O的切线，∴DC=DB；
在Rt△ACD中，
∵sinA=，BD：AD=1：2，
∴sinA=；∴∠A=30°，
∴tanA=．
（方法二）∵DC⊥OA，OC为半径．
∴DC为⊙O的切线；
∵AB为⊙O的切线，∴DC=DB；
∵BD：AD=1：2，∴CD：AD=1：2；
∴设CD=k，AD=2k；
∴AC=k；
∴tanA==．

（2）连接OB；
∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB．
在Rt△AOB中，
∵tanA=，OB=1；
∴AB=
∵∠A=30°，∴∠O=60°；
∴的长=．
分析：（1）易知DB、DC都是⊙O的切线，由切线长定理可得DB=DC，那么结合已知条件则有：DC：AD=1：2；即Rt△ACD中，sinA=，由此可求出∠A的度数，进而可的∠A的正切值．
（2）连接OB．在构建的含30°角的Rt△OBA中，已知了OB=OC=1，可求出AB的长及∠BOC的度数；进而可根据弧长公式求出弧BC的长．
点评：掌握切线的判定方法，综合运用切线长定理、勾股定理以及锐角三角函数的概念进行计算；熟悉30°的直角三角形的性质以及弧长公式．