Question

如图，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，∠ADE=60°，∠C=30°．
（1）判断直线CD是否为⊙O的切线，请说明理由；
（2）若CD=3，求BC的长．

Answer 1

解：（1）CD是⊙O的切线，理由如下：
连接OD，∵∠ADE=∠A+∠C，∠C=30°，∠ADE=60°，
∴∠A=30°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=30°，
又∵∠ADE=60°，
∴∠ODE=∠ODA+∠ADE=90°，
∴DC是⊙O的切线；
（2）在Rt△ODC中，∠ODC=90°，∠C=30°，CD=3，
∵tanC=，
∴OD=CD•tanC=3×=，
∴OC=2OD=2，
∵OB=OD=3
∴BC=OC-OB=2-3．
分析：（1）根据切线的判定定理，连接OD，只需证明OD⊥CD，根据三角形的外角的性质得∠A=30°，再根据等边对等角得∠ADO=∠A，从而证明结论；
（2）在30°的直角三角形OCD中，求得OD，OC的长，则BC=OC-OB．
点评：此题主要考查圆的切线的性质定理的证明、切线的判定及解直角三角形的综合运用．属于基础题．