Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，沿△ABC的中线CM将△CMA折叠，使点A落在点D处，若CD恰好与MB垂直，且BC=4，则△ABC的面积为

8

3

．

Answer 1

分析：由CM为Rt△ABC斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线性质得CM=MB=AM，再根据折叠的性质得到MD=MA，∠DMC=∠AMC，则MD=MC，由于CD⊥MB于H，
根据等腰三角形的性质有MH平分∠DMC，即∠BMC=∠BMD，可得∠DMC=2∠BMC，∠AMC=2∠BMC，利用平角的定义可计算出∠BMC=60°，则△BMC为等边三角形，易得
∠B=60°，∠A=30°，所以AC=

3

BC=4

3

，然后根据三角形面积公式进行计算．

解答：解：如图，
∵CM为Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CM=MB=AM，
∵沿△ABC的中线CM将△CMA折叠，点A落在点D处，
∴MD=MA，∠DMC=∠AMC，
∴MD=MC，
∵CD⊥MB于H，
∴MH平分∠DMC，即∠BMC=∠BMD，
∴∠DMC=2∠BMC，
∴∠AMC=2∠BMC，
∵∠BMC+∠AMC=180°，
∴∠BMC=60°，
∴△BMC为等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠A=30°，
∴AC=

3

BC=4

3

，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×4

3

×4=8

3

．
故答案为8

3

．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质以及含30度的直角三角形三边的关系．