Question

如图，四边形OABC为直角梯形，OA⊥CO，CB∥OA，OA=CO=4，BC=3．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AO于点P，连接AC交NP于Q，连接MQ、BQ．
（1）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式；
（2）当t为何值时，S_△BCQ：S_△AQM=3：2？
（3）是否存在某一时刻t，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）经过t秒时，NB=t，OM=2t，
则CN=3-t，AM=4-2t，
∵∠BCA=∠MAQ=45°，
∴QN=CN=3-t，
∴PQ=1+t，
∴S_△AMQ=AM•PQ=（4-2t）（1+t）=-t²+t+2．

（2）由题意得，CN=NQ=3-t，QP=1+t，AM=4-2t，
∴S_△BCQ=×3（3-t），S_△AQM=（4-2t）（1+t），
又∵S_△BCQ：S_△AQM=3：2，即3（3-t）：（4-2t）（1+t）=3：2，
解得：t=1，
即当t=1时，S_△BCQ：S_△AQM=3：2．

（3）存在．
设经过t秒时，NB=t，OM=2t，
则CN=3-t，AM=4-2t，
∴∠BCA=∠MAQ=45°，
①若∠AQM=90°，则PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高，
∴PQ是底边MA的中线，
∴PQ=AP=MA，
∴1+t=（4-2t），
解得：t=．
②若∠QMA=90°，此时QM与QP重合，
∴QM=QP=MA，
∴1+t=4-2t
∴t=1．
分析：（1）经过t秒时可得NB=y，OM-2t．根据∠BCA=∠MAQ=45°推出QN=CN，PQ的值．再根据三角形面积公式求出S与t的函数关系式．
（2）用含t的式子先表示出S_△BCQ，S_△AQM，然后根据两者之比为3：2可得出t的值．
（3）本题分两种情况讨论（若∠AQM=90°，PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高；若∠QMA=90°，QM与QP重合）求出t值．
点评：此题考查了直角梯形、直角三角形的性质及相似三角形的判定及性质，属于综合性较强的题目，对于此类动点型题目，首先要确定符合题意的条件下动点所在的位置，然后用时间t表示出有关线段的长度，进而建立关于线段的关系式，难度较大．