Question

4．如图，四边形OABC为正方形，C的坐标为（0，4），点P为x轴正半轴上任意一点（与点O、A不重合），连接CP，CP的右侧作正方形CPGH，设OP=t
（1）直接用含t的代数式表示点G的坐标为（t+4，t）
（2）过点G作GM∥x轴交射线OB于M，试判断线段GM的长度起否随t的变化而变化．若不变，求出其值；若变化，请说明理由；
（3）连接CG，交射线AB于E，求当t为何值时，E到B点的距离为1．

Answer 1

分析 （1）作GD⊥x轴于D，先根据正方形的性质，判定△GPD≌△PCO（AAS），得出GD=PO=t，DP=OC=4，进而得到OD=t+4，即点G的坐标为（t+4，t）；
（2）连接AG，判定四边形ADGN是矩形，再判定四边形ADGN是正方形，得到∠GAD=45°=∠BOA，进而判定AG∥OM，再判定四边形OAGM是平行四边形，得出MG=OA=4，即线段MG的长度不发生改变；
（3）分两种情况讨论：①当E在线段AB上时，过点G作GD⊥x轴于D，作GF⊥AB于F；②当E在线段AB的延长线上时，过点G作GD⊥x轴于D，作GF⊥AB于F，分别判定四边形ADGF是正方形，得出GF=DG=AF=t，再根据CB∥GF，得出$\frac{EF}{EB}$=$\frac{FG}{BC}$，列出关于t的方程式，求得t的值即可．

解答 解：（1）如图1，作GD⊥x轴于D，
则∠GDP=90°，GD∥AB，
∴∠GPD+∠PGD=90°，
∵四边形PCHG是正方形，
∴∠CPG=90°，
∴∠GPD+∠CPO=90°，
∴∠PGD=∠CPO，
∵四边形AOCB是正方形，
∴∠POC=90°=∠GDP，OA=OC=AB=BC=4，∠BOA=45°，
在△GPD和△PCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠POC=∠GDP}\\{∠CPO=∠PGD}\\{PC=GP}\end{array}\right.$，
∴△GPD≌△PCO（AAS），
∴GD=PO=t，DP=OC=4，
∴OD=t+4，
∴点G的坐标为：（t+4，t）．
故答案为（t+4，t）；

（2）线段MG的长度不发生改变．
理由：如图1，连接AG，
∵MG∥OA，GD∥AB，∠GDA=90°，
∴四边形ADGN是矩形，
又∵DP=OC=OA，
∴AD=PO=t=DG，
∴四边形ADGN是正方形，
∴∠GAD=45°=∠BOA，
∴AG∥OM，
∴四边形OAGM是平行四边形，
∴MG=OA=4，即线段MG的长度不发生改变；

（3）如图2，当E在线段AB上时，过点G作GD⊥x轴于D，作GF⊥AB于F，则四边形ADGF是矩形，
又∵DP=OC=OA=4，
∴AD=PO=t=DG，
∴四边形ADGF是正方形，
∴GF=DG=AF=t
又∵BE=1，
∴EF=4-1-t=3-t，
∵CB∥GF，
∴$\frac{EF}{EB}$=$\frac{FG}{BC}$，即$\frac{3-t}{1}=\frac{t}{4}$，
解得t=$\frac{12}{5}$；

如图3，当E在线段AB的延长线上时，过点G作GD⊥x轴于D，作GF⊥AB于F，则四边形ADGF是矩形，
又∵DP=OC=OA=4，
∴AD=PO=t=DG，
∴四边形ADGF是正方形，
∴GF=DG=AF=t
又∵BE=1，
∴EF=t-4-1=t-5，
∵CB∥GF，
∴$\frac{EF}{EB}$=$\frac{FG}{BC}$，即$\frac{t-5}{1}$=$\frac{t}{4}$，
解得t=$\frac{20}{3}$．
综上所述，当t为$\frac{12}{5}$或$\frac{20}{3}$时，E到B点的距离为1．

点评 本题主要考查了四边形的综合应用，解题时需要运用正方形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造平行线，利用平行线分线段成比例定理，列出方程式进行求解，解题时注意分类思想的运用．