Question

10．△ABC中，∠C=80°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．．
（1）若点P在边AB上，且∠α=50°，如图1，则∠1+∠2=130°；
（2）若点P在边AB上运动，如图2所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为∠1+∠2=80°+∠α．
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图3，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由

Answer 1

分析 （1）连接CP，根据三角形外角性质，即可得到∠1=∠DCP+∠DPC，∠2=∠ECP+∠EPC，再根据∠1+∠2=∠ACB+∠DPE进行计算即可；
（2）连接CP，根据三角形外角性质，即可得到∠1=∠DCP+∠DPC，∠2=∠ECP+∠EPC，再根据∠1+∠2=∠ACB+∠DPE进行计算即可得到∠α、∠1、∠2之间的关系；
（3）根据三角形外角性质，即可得到∠1=∠C+∠CMD，∠CMD=∠2+∠α，进而得到∠1=∠C+∠2+∠α，据此可得∠α、∠1、∠2之间的关系．

解答 解：（1）如图1，连接CP，
∵∠1是△CDP的外角，
∴∠1=∠DCP+∠DPC，
同理可得，∠2=∠ECP+∠EPC，
∴∠1+∠2=∠ACB+∠DPE=80°+50°=130°，

故答案为：130°；

（2）如图，连接CP，
∵∠1是△CDP的外角，
∴∠1=∠DCP+∠DPC，
同理可得，∠2=∠ECP+∠EPC，
∴∠1+∠2=∠ACB+∠DPE=80°+∠α，

故答案为：∠1+∠2=80°+∠α；

（3）∠1=80°+∠2+∠α，理由如下：

如图3，∵在△CDM中，∠1=∠C+∠CMD，
在△EMP中，∠CMD=∠2+∠α，
∴∠1=∠C+∠2+∠α，
即∠1=80°+∠2+∠α．

点评 本题主要考查了三角形外角性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．