Question

1．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．一次函数与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B，与正比例函数y=-3x交于点C（-1，m）．
（1）求一次函数的表达式；
（2）在x轴上找点P，使得△OCP为等腰三角形，直接写出所有满足条件的P点的坐标；
（3）在直线AB上找点Q，使得S_△OCQ=$\frac{5}{8}$S_△ABO，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）可先求得C点坐标，再利用待定系数法可求得一次函数的表达式；
（2）可设P（x，0），则可表示出CP、OP和OC，分CP=OP、CP=OC和OP=OC三种情况，分别得到关于x的方程，可求得P点的坐标；
（3）可设出Q点的坐标，从而可表示出CQ的长，由三角形的面积可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点的坐标．

解答 解：
（1）∵正比例函数y=-3x过点C，
∴m=-3×（-1）=3，
∴C（-1，3），
设直线AB解析式为y=kx+b，
把A、C坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{-k+b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴一次函数表达式为y=x+4；
（2）设P（x，0），且C（-1，3），
∴CP=$\sqrt{（x+1）^{2}+（0-3）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+2x+10}$，OP=|x|，OC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵△OCP为等腰三角形，
∴有CP=OP、CP=OC和OP=OC三种情况，
①当CP=OP时，即$\sqrt{{x}^{2}+2x+10}$=|x|，解得x=-5，此时P点坐标为（-5，0），
②当CP=OC时，即$\sqrt{{x}^{2}+2x+10}$=$\sqrt{10}$，解得x=0（舍去）或x=-2，此时P点坐标为（-2，0），
③当OP=OC时，即|x|=$\sqrt{10}$，解得x=$\sqrt{10}$或x=-$\sqrt{10}$，此时P点坐标为（$\sqrt{10}$，0）或（-$\sqrt{10}$，0），
综上可知P点的坐标为（-5，0）或（-2，0）或（$\sqrt{10}$，0）或（-$\sqrt{10}$，0）；
（3）∵点Q在直线AB上，
∴可设Q（t，t+4），且C（-1，3），
∴CQ=$\sqrt{（t+1）^{2}+（t+4-3）^{2}}$=$\sqrt{2}$|t+1|，
在y=x+4中，令x=0可得y=4，
∴B（0，4），且A（-4，0），
∴OA=OB=4，
∴S_△ABO=$\frac{1}{2}$×4×4=8，且AB=4$\sqrt{2}$，
如图，过O作OD⊥AB于点D，

∴$\frac{1}{2}$AB•OD=S_△ABO，即$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$OD=8，解得OD=2$\sqrt{2}$，
∴S_△OCQ=$\frac{1}{2}$OD•QC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$|t+1|=2|t+1|，
∵S_△OCQ=$\frac{5}{8}$S_△ABO，
∴2|t+1|=$\frac{5}{8}$×8，解得t=-$\frac{7}{2}$或t=$\frac{3}{2}$，
当t=-$\frac{7}{2}$时，t+4=$\frac{1}{2}$，当t=$\frac{3}{2}$时，t+4=$\frac{11}{2}$，
∴Q点的坐标为（-$\frac{7}{2}$，$\frac{1}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，$\frac{11}{2}$）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形的面积、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得C点坐标是解题的关键，在（2）中用P点坐标表示出CP、OP的长是解题的关键，在（3）中求得△CQO的高是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．