Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．

（1）求证：∠E=∠C；

（2）若DF=6cm，cosB=，E是弧AB的中点，求DE的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）DE= 14．

【解析】分析：(1)直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，再利用线段垂直平分线的性质得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；

(2)根据cosB=，得出AB的长，即可求出AE的长，解直角三角形即可得到结论.

详解：（1）连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵CD=BD，

∴AD垂直平分BC，

∴AB=AC，

∴∠B=∠C，

又∵∠B=∠E，

∴∠E=∠C；

（2）连接OE，

∵∠CFD=∠E=∠C，

∴FD=CD=BD=12，

∵cosB=，

∴AB=20，

∵E是的中点，AB是⊙O的直径，

∴∠AOE=90°，

∵AO=OE=10，

∴AE=10，

∵E是的中点，

∴∠ADE=∠BDE=45°，

∴DG=AG=ADsin45°=16×=8，EG==6，

∴DE=DG+GE=14．