Question

【题目】如图，AB，BC分别是⊙O的直径和弦，点D为上一点，弦DE交⊙O于点E，交AB于点F，交BC于点G，过点C的切线交ED的延长线于H，且HC=HG，连接BH，交⊙O于点M，连接MD，ME．

求证：

（1）DE⊥AB；

（2）∠HMD=∠MHE+∠MEH．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】分析：（1）连接OC，根据等边对等角和切线的性质，证明∠BFG=∠OCH=90°即可；
（2）连接BE，根据垂径定理和圆内接四边形的性质，得出∠HMD=∠BME，再根据三角形的外角的性质证明∠HMD=∠DEB=∠EMB即可．

详解：证明：（1）连接OC，

∵HC=HG，

∴∠HCG=∠HGC；

∵HC切⊙O于C点，

∴∠OCB+∠HCG=90°；

∵OB=OC，

∴∠OCB=∠OBC，

∵∠HGC=∠BGF，

∴∠OBC+∠BGF=90°，

∴∠BFG=90°，即DE⊥AB；

（2）连接BE，

由（1）知DE⊥AB，

∵AB是⊙O的直径，

∴，

∴∠BED=∠BME；

∵四边形BMDE内接于⊙O，

∴∠HMD=∠BED，

∴∠HMD=∠BME；

∵∠BME是△HEM的外角，

∴∠BME=∠MHE+∠MEH，

∴∠HMD=∠MHE+∠MEH．