Question

13．若实数a使函数y=（a+6）x²-3x+$\frac{a+5}{a+6}$的图象同时经过四个象限，并且使不等式组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x-1}{2}+\frac{x+a}{3}＜1}\\{x-2≥3}\end{array}\right.$无解，则所有符合条件的整数a的积是（　　）

• A． -336
• B． 56
• C． 0
• D． 42

Answer 1

分析 根据函数图象经过四个象限，需满足3个条件：（Ⅰ）函数是二次函数；（Ⅱ）二次函数与x轴有两个交点；（Ⅲ）两个交点必须要在y轴的两侧，即两个交点异号．列不等式组，不等式组变形后，根据无解确定出a的范围，进而求出之积．

解答 解：∵函数y=（a+6）x²-3x+$\frac{a+5}{a+6}$的图象同时经过四个象限，需满足3个条件：
（I）函数是二次函数，
（II）二次函数与x轴有两个交点．
（III）两个交点必须要在y轴的两侧，∴$\left\{\begin{array}{l}{a+6≠0}\\{（-3）^{2}-4（a+6）•\frac{a+5}{a+6}＞0}\\{\frac{a+5}{（a+6）^{2}}＜0}\end{array}\right.$，解得a＜-5；
∵不等式组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x-1}{2}+\frac{x+a}{3}＜1}\\{x-2≥3}\end{array}\right.$无解，得到a≥-8，
∴-8≤a＜-5，
∵a≠-6，
∴所有符合条件的整数a是-8，-7，
∴所有符合条件的整数a的积是-8×（-7）=56，
故选B．

点评 本题考查解一元一次不等式组，二次函数的图象与性质、二次函数与x轴的交点、二次函数与y轴交点等知识点，解题关键是确定“函数图象经过四个象限”所满足的条件．