Question

如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，对角线AC⊥BD，延长BC至E点，使CE=AD，连接DE．
（1）求∠ACE的度数；
（2）若AD+BC=10cm，求△BDE的面积．

Answer 1

解：（1）∵AD∥BC，CE=AD，
∴四边形ACED为平行四边形
∴DE∥AC，DE=AC
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∴BD=DE，
∴∠E=∠DBE，
∵AC⊥BD，AC∥DE，
∴DE⊥BD，
∴∠BDE=90°，
∴∠E=45°
∵DE∥AC，
∴∠E+∠ACE=180°，
∴∠ACE=135°

（2）∵AD=CE，
∴BE=BC+CE=BC+AD=10cm，
∴Rt△BDE中，由勾股定理得：BD²+DE²=BE²，
又∵BD=DE，
∴BD²=50，
∴S_△BDE=cm²．
分析：（1）先根据AD∥BC，CE=AD判断出四边形ACED为平行四边形，故可得出DE∥AC，DE=AC，由四边形ABCD是等腰梯形可知AC=BD，BD=DE，∠E=∠DBE，再根据AC⊥BD，AC∥DE可判断出△BDE是等腰直角三角形，故∠E=45°，再由平行线的性质即可得出结论；
（2）由AD=CE可知BE=BC+CE=BC+AD=10cm，在Rt△BDE中，由勾股定理得：BD²+DE²=BE²，由BD=DE，可知BD²=50，再由三角形的面积公式即可得出结论．
点评：本题考查的是等腰梯形的性质及等腰直角三角形的判定定理，熟知等腰梯形的两底角相等是解答此题的关键．