Question

8．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．
（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．
（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．

Answer 1

分析 （1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC，因为G为BD的中点，可得BG=BC，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD∥CG，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC∥BD，得出四边形ACGD为平行四边形；
（2）利用全等三角形的判定证得△DAC≌△BAE，由全等三角形的性质得BE=CD；首先证得四边形ABCE为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE≌△CAD，易得∠CBE=∠ACD，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论．

解答 （1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{2}$BC，
∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，
∴BD=$\sqrt{2}AB$=BC$\sqrt{2}×\sqrt{2}×BC$=2BC，
∵G为BD的中点，
∴BG=$\frac{1}{2}$BD=BC，
∴△CBG为等腰直角三角形，
∴∠CGB=45°，
∵∠ADB=45°，
AD∥CG，
∵∠ABD=45°，∠ABC=45°
∴∠CBD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBD+∠ACB=180°，
∴AC∥BD，
∴四边形ACGD为平行四边形；

（2）证明：∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°，
∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°，
∴∠EAB=∠CAD，
在△DAC与△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠CAD=∠EAB}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△BAE，
∴BE=CD；
∵∠EAC=∠BCA=90°，EA=AC=BC，
∴四边形ABCE为平行四边形，
∴CE=AB=AD，
在△BCE与△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠CAD=135°}\\{EC=DA}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CAD，
∴∠CBE=∠ACD，
∵∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠CBE+∠BCD=90°，
∴∠CFB=90°，
即BE⊥CD．

点评 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键．