Question

【题目】如图，二次函数的图像与轴交于点、，与轴交于点.

（1）求二次函数的表达式；

（2）设上述抛物线的对称轴与轴交于点，过点作⊥于， 为线段

上一点， 为轴负半轴上一点，以、、为顶点的三角形与相似；

满足条件的点有且只有一个时，求的取值范围；

②若满足条件的点有且只有两个，直接写出的值.

Answer 1

【答案】（2） ；（2）① ；②1或

【解析】试题分析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将C（0，3）代入求得a的值可得到抛物线的解析式；
（2）先求得点C的坐标，从而得到ED的长，然后再求得抛物线的对称轴，从而得到CE的长，然后设PE=x，则PD=3-x，然后分为△CEP∽△QDP和△CEP∽△PDQ两种情况列出比例式，从而得到m与x的函数关系，然后依据函数关系可确定出m的取值范围，①依据符合条件的点P只有一个，然后找出仅能够使得其中一个三角形的相似时，m的范围即可；②找出能够使得两种情况都成立时，m的范围即可．

试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
将C（0，3）代入得：3=-3a，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3．
（2）∵x=-=1，
∴CE=1．
将x=0代入抛物线的解析式得：y=3，
∴点C（0，3）．
∴ED=3．
设EP=x，则（0＜x＜3）．
当△CEP∽△QDP时，则,即，

整理得：m=2-，
∴m随x的增大而增大，
∴m＜1．
∵Q在x轴的负半轴上，
∴m＜0．
当△CEP∽△PDQ时， ,即，整理得：m=x2-3x+1，
∴当x=时，m有最小值，m的最小值=-．
又∵Q在x轴的负半轴上，
∴m＜0．
∴-≤m＜0．
①∵当m＜-时，有且只有△CEP∽△QDP一种情况，
∴当m＜-时，满足条件的点P有且只有一个．
②当-≤m＜0时，存在△CEP∽△QDP或△CEP∽△PDQ两种情况，
∴当-≤m＜0时，满足条件的P点有且只有两个．