Question

16．如图，在同一直线上顺次取AB=BC=CD，以BC为直径作⊙O，从A点作⊙O的切线AE，切点为M，求证：∠AMB=∠EMD．

Answer 1

分析 延长MO交圆于F，连接AF，设圆的半径是r，由AB=BC=CD，于是得到AO=3r=DO，MO=OF=r，推出△AOF≌△DOM，根据全等三角形的性质得到AF=MD，根据切线的性质得到∠AMF=90°，由勾股定理得到AM=$\sqrt{A{O}^{2}-O{M}^{2}}$=2$\sqrt{2}$r，AF=$\sqrt{A{M}^{2}+M{F}^{2}}$=2$\sqrt{3}$r=MD，证得BD：MD=MD：OD，推出△BDM∽△MDO，由相似三角形的性质得到∠DMO=∠DBM，由于∠DBM=∠OMB，得到∠OMB=∠DMO，根据余角的性质即可得到结论．

解答 证明：延长MO交圆于F，连接AF，设圆的半径是r，
∵AB=BC=CD，
∵AO=3r=DO，MO=OF=r，
∵∠AOF=∠MOD，
在△AOF与△DON中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=DO}\\{∠AOF=∠DOM}\\{OM=OF}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△DOM，
∴AF=MD，
∵M是切点，
∴∠AMF=90°，
又∵MO=r，OA=3r，
∴AM=$\sqrt{A{O}^{2}-O{M}^{2}}$=2$\sqrt{2}$r，
∴AF=$\sqrt{A{M}^{2}+M{F}^{2}}$=2$\sqrt{3}$r=MD，
∵BD=4r，OD=3r，
∴$\frac{BD}{MD}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{MD}{OD}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴BD：MD=MD：OD，
∵∠BDM=∠MDB，
∴△BDM∽△MDO，
∴∠DMO=∠DBM，
∵∠DBM=∠OMB，
∴∠OMB=∠DMO，
∵∠OMB+∠AMB=90°，∠DMO+∠EMD=90°，
∴∠AMB=∠EMD．

点评 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．