Question

7．已知点P（0，a）（a为常数），点Q是抛物线y=$\frac{1}{4}$x²上任意一点．
（1）当a=1时，求线段PQ的最小值；
（2）当a＞0时，求线段PQ的最小值．

Answer 1

分析 设Q（m，$\frac{1}{4}$m²），
（1）根据勾股定理得出PQ²=（m-0）²+（$\frac{1}{4}$m²-1）²=$\frac{1}{16}$m⁴+$\frac{1}{2}$m²+1，即可求得当m=0时，PQ²的最小值是1，即PQ的最小值是1；
（2）根据勾股定理得出PQ²=（m-0）²+（$\frac{1}{4}$m²-a）²=$\frac{1}{16}$m⁴+（1-$\frac{1}{2}$a）m²+a²，即可求得当m=0时，PQ²的最小值是a²，即PQ的最小值是a．

解答 解：设Q（m，$\frac{1}{4}$m²），
（1）∵P（0，1），
∴PQ²=（m-0）²+（$\frac{1}{4}$m²-1）²=$\frac{1}{16}$m⁴+$\frac{1}{2}$m²+1，
∴当m=0时，PQ²的最小值是1，
∴PQ的最小值是1；
（2）∵P（0，a），
∴PQ²=（m-0）²+（$\frac{1}{4}$m²-a）²=$\frac{1}{16}$m⁴+（1-$\frac{1}{2}$a）m²+a²，
∴当m=0时，PQ²的最小值是a²，
∵a＞0，
∴PQ的最小值是a．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，根据题意设出Q点的坐标，然后根据勾股定理得出PQ关于m的解析式是关键．