Question

9．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BE平分∠ABC交AC于F，CE⊥BF于E，EG⊥AB于G，连AE．下列结论：①AB+AF=BC；②BF=2CE；③FC=GE；④∠GEA=∠CBF．其中正确的有（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 过F作FK⊥BC于K，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°，由等腰直角三角形性质得到CK=FK，根据角平分线的性质得到FK=AF，等量代换得到AF=CK，根据全等三角形的性质得到AB=BK，于是得到BC=BK+CK=AB+AF，故①正确，由∠BAC=∠BEC=90°，推出点A，B，C，E四点共圆，根据圆周角定理得到∠ABF=∠ACE，∠EAC=∠FBC，等量代换得到∠EAC=∠ECA，推出AE=CE，根据直角三角形的性质得到AH=BH=$\frac{1}{2}$BF，推出AE=AH=CE，于是得到BF=2CE，故②正确，根据在直角三角形中斜边大于直角边得到AE＞GE，CF＞CE，于是得到CF＞GE，故③错误；由∠G=∠BAC=90°，推出GE∥AC根据平行线的性质得到∠AEG=∠EAC，等量代换得到∠GEA=∠CBF，故④正确．

解答 解：过F作FK⊥BC于K，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴CK=FK，
∵BE平分∠ABC交AC于F，
∴FK=AF，
∴AF=CK，
在△RtABF与△RtBKF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=KF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴AB=BK，
∴BC=BK+CK=AB+AF，故①正确，
∵∠BAC=∠BEC=90°，
∴点A，B，C，E四点共圆，
∴∠ABF=∠ACE，∠EAC=∠FBC，
∴∠EAC=∠ECA，
∴AE=CE，
取BF的中点H，连接AH，
∴AH=BH=$\frac{1}{2}$BF，
∴∠HAB=∠HBA，
∴∠AHE=∠HAB+∠ABH=45°，
∵∠AEB=∠ACB=45°，
∴AE=AH=CE，
∴BF=2CE，故②正确，
∵∠G=∠CEF=90°，
∴AE＞GE，CF＞CE，
∴CF＞GE，故③错误；
∵∠G=∠BAC=90°，
∴GE∥AC，
∴∠AEG=∠EAC，
∵∠EAC=∠CBF，
∴∠GEA=∠CBF，故④正确；
故选C．

点评 本题主要考查对三角形的外角性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．