Question

14．已知，抛物线y=$\frac{1}{8}$（x+1）²-2顶点为A，点B在抛物线上，以AB的斜边作等腰直角三角形，直角顶点C在y轴上，求C点坐标．

Answer 1

分析 由抛物线的顶点式求得A的坐标，作BE⊥y轴于E，AF⊥y轴于F，根据等腰直角三角形的性质得出AC=BC，∠ACF=∠EBC，然后证得△ACF≌△CBE，得出AF=CE，CF=BE，设C（0，n），则BE=CF=n+2，AF=CE=1，得出B（-n-2，n+1），代入抛物线的解析式即可求得．

解答 解：∵抛物线y=$\frac{1}{8}$（x+1）²-2顶点为A，
∴A（-1，-2），
作BE⊥y轴于E，AF⊥y轴于F，
∵△ABC是以AB的斜边等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACF=90°，
∵∠BCE+∠EBC=90°，
∴∠ACF=∠EBC，
在△ACF和△CBE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACF=∠EBC}\\{∠AFC=∠CEB=90°}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△ACF≌△CBE（AAS），
∴AF=CE，CF=BE，
设C（0，n），则BE=CF=n+2，AF=CE=1，
∴B（-n-2，n+1），
∵点B在抛物线上，
∴n+1=$\frac{1}{8}$（-n-2+1）²-2，
解得n=3±4$\sqrt{2}$，
∴C（0，3+4$\sqrt{2}$）或（0，3-4$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．