Question

4．已知抛物线C₁：y=ax²+bx+c（x≤4）经过原点和点A（4，0），顶点为点C，将抛物线C₁绕点A旋转180°得到抛物线C₂，顶点为点D，与x轴的另一个交点为点B．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）求C，D两点的坐标（用含a的代数式表示）；
（3）当四边形OCBD为矩形时，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用旋转的性质直接得出点B的坐标即可；
（2）利用交点式分别得出抛物线C₁、C₂的解析式，利用配方法求得顶点坐标即可；
（3）利用抛物线的对称性以及矩形的性质证得△OAC是等边三角形，

解答 解：如图，

（1）点B的坐标为（8，0）．
（2）∵抛物线C₁：y=ax²+bx+c（x≤4）经过原点和点A（4，0），
∴C₁：y=ax（x-4）=a（x-2）²-4a，
∴顶点C的坐标为（2，-4a）；                         
∵抛物线C₂经过点A（4，0），B（8，0）．
∴C₂：y=-a（x-4）（x-8）=-a（x-6）²+4a，
∴顶点D的坐标（6，4a），
（3）由抛物线的对称性得CO=CA，
当四边形OCBD为矩形时，AO=AC，
所以CO=CA=OA，即△OAC是等边三角形，
所以|y_c|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA=2$\sqrt{3}$，
即4a=±2$\sqrt{3}$，
a=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 此题考查二次函数的性质，矩形的性质，掌握二次函数的交点式、顶点式以及二次函数的对称性是解决问题的关键．