Question

如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点C在x轴的负半轴上，点A在y轴正半轴上，矩形OABC的面积为8

2

．把矩形OABC沿DE翻折，使点B与点O重合，点C落在第三象限的G点处，作EH⊥x轴于H，过E点的反比例函数y=

k

x

图象恰好过DE的中点F．则k=

 

，线段EH的长为：

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,反比例函数系数k的几何意义,全等三角形的判定与性质,矩形的判定与性质,轴对称的性质,相似三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：连接BO与ED交于点Q，过点Q作QG⊥x轴，垂足为G，可通过三角形全等证得BO与ED的交点就是ED的中点F，由相似三角形的性质可得S_△OGF=

1

4

S_△OCB，根据反比例函数比例系数的几何意义可求出k，从而求出S_△OAE，进而可以得到AB=4AE，即BE=3AE．由轴对称的性质可得OE=BE，从而得到OE=3AE，也就有AO=2

2

AE，根据△OAE的面积可以求出AE，OA的值．易证四边形OAEH为矩形，从而得到EH=OA，就可求出EH的值．

解答：解：连接BO与ED交于点Q，过点Q作QG⊥x轴，垂足为G，如图所示，
∵矩形OABC沿DE翻折，点B与点O重合，
∴BQ=OQ，BE=EO．
∵四边形OABC是矩形，
∴AB∥CO，∠BCO=∠OAB=90°．
∴∠EBQ=∠DOQ．
在△BEQ和△ODQ中，

∠EBQ=∠DOQ BQ=OQ ∠BQE=∠OQD

．
∴△BEQ≌△ODQ（ASA）．
∴EQ=DQ．
∴点Q是ED的中点．
∵∠QG0=∠BCO=90°，
∴QG∥BC．
∴△OGQ∽△OCB．
∴

S△OGQ

S△OCB

=（

OQ

OB

）²=（

OQ

2OQ

）²=

1

4

．
∴S_△OGQ=

1

4

S_△OCB．
∵S_矩形OABC=8

2

，
∴S_△OCB=S_△OAB=4

2

．
∴S_△OGQ=

2

．
∵点F是ED的中点，
∴点F与点Q重合．
∴S_△OGF=

2

．
∵点F在反比例函数y=

k

x

上，
∴

. k .

2

=

2

．
∵k＜0，
∴k=-2

2

．
∴S_△OAE=

. k .

2

=

2

．
∵S_△OAB=4

2

，
∴AB=4AE．
∴BE=3AE．
由轴对称的性质可得：OE=BE．
∴OE=3AE．OA=

OE2-AE2

=2

2

AE．
∴S_△OAE=

1

2

AO•AE=

1

2

×2

2

AE×AE=

2

．
∴AE=1．
∴OA=2

2

×1=2

2

．
∵∠EHO=∠HOA=∠OAE=90°，
∴四边形OAEH是矩形．
∴EH=OA=2

2

．
故答案分别为：-2

2

、2

2

．

点评：本题考查了反比例函数比例系数的几何意义、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，有一定的综合性．