Question

【题目】如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx经过点B（1，4）和点E（3，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D点的坐标；
（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得△BDM的周长为最小，并求△BDM周长的最小值及此时点M的坐标；
（4）在条件（2）下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P，使得△PAD的面积最大？若存在，请求出△PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：将点B（1，4），E（3，0）的坐标代入抛物线的解析式得： ，

解得： ，

抛物线的解析式为y=﹣2x2+6x

（2）

解：如图1所示；

∵BD⊥DE，

∴∠BDE=90°．

∴∠BDC+∠EDO=90°．

又∵∠ODE+∠DEO=90°，

∴∠BDC=∠DE0．

在△BDC和△DOE中， ，

∴△BDC≌△DEO．

∴OD=AO=1．

∴D（0，1）．

（3）

解：如图2所示：作点B关于抛物线的对称轴的对称点B′，连接B′D交抛物线的对称轴与点M．

∵x=﹣ = ，

∴点B′的坐标为（2，4）．

∵点B与点B′关于x= 对称，

∴MB=B′M．

∴DM+MB=DM+MB′．

∴当点D、M、B′在一条直线上时，MD+MB有最小值（即△BMD的周长有最小值）．

∵由两点间的距离公式可知：BD= = ，DB′= = ，

∴△BDM的最小值= + ．

设直线B′D的解析式为y=kx+b．

将点D、B′的坐标代入得： ，

解得：k= ，b=1．

∴直线DB′的解析式为y= x+1．

将x= 代入得：y= ．

∴M（ ， ）

（4）

如图3所示：过点F作FG⊥x轴，垂足为G．

设点F（a，﹣2a2+6a），则OG=a，FG=﹣2a2+6a．

∵S梯形DOGF= （OD+FG）OG= （﹣2a2+6a+1）×a=﹣a3+3a2+ a，S△ODA= ODOA= ×1×1= ，S△AGF= AGFG=﹣a3+4a2﹣3a，

∴S△FDA=S梯形DOGF﹣S△ODA﹣S△AGF=﹣a2+ a﹣ ．

∴当a= 时，S△FDA的最大值为 ．

∴点P的坐标为（ ， ）．

【解析】（1）将点B（1，4），E（3，0）的坐标代入抛物线的解析式，得到关于a、b的方程组，求得a、b的值，从而可得到抛物线的解析式；（2）依据同角的余角相等证明∠BDC=∠DE0，然后再依据AAS证明△BDC≌△DEO，从而得到OD=AO=1，于是可求得点D的坐标；（3）作点B关于抛物线的对称轴的对称点B′，连接B′D交抛物线的对称轴与点M．先求得抛物线的对称轴方程，从而得到点B′的坐标，由轴对称的性质可知当点D、M、B′在一条直线上时，△BMD的周长有最小值，依据两点间的距离公式求得BD和B′D的长度，从而得到三角形的周长最小值，然后依据待定系数法求得D、B′的解析式，然后将点M的横坐标代入可求得点M的纵坐标；（4）过点F作FG⊥x轴，垂足为G．设点F（a，﹣2a2+6a），则OG=a，FG=﹣2a2+6a．然后依据S△FDA=S梯形DOGF﹣S△ODA﹣S△AGF的三角形的面积与a的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可．本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式、全等三角形的性质和判定、轴对称的性质、二次函数的图象和性质得到△FDA的面积与a的函数关系式是解题的关键．