Question

18．如图，Rt△ABC的顶点B在反比例函数y=$\frac{12}{x}$的图象上，AC边在x轴上，已知∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，则图中阴影部分的面积是12-$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由∠ACB=90°，BC=4，得出B点纵坐标为4，根据点B在反比例函数y=$\frac{12}{x}$的图象上，求出B点坐标为（3，4），则OC=3，再解Rt△ABC，得出AC=4$\sqrt{3}$，则OA=4$\sqrt{3}$-3，设AB与y轴交于点D，由OD∥BC，根据平行线分线段成比例定理得到比例式，求得OD=4-$\sqrt{3}$，最后根据梯形的面积公式即可求出阴影部分的面积．

解答 解：∵∠ACB=90°，BC=4，
∴B点纵坐标为4，
∵点B在反比例函数y=$\frac{12}{x}$的图象上，
∴当y=4时，x=3，即B点坐标为（3，4），
∴OC=3．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，
∴AB=2BC=8，AC=$\sqrt{3}$BC=4$\sqrt{3}$，OA=AC-OC=4$\sqrt{3}$-3．
设AB与y轴交于点D．
∵OD∥BC，
∴$\frac{OA}{AC}$=$\frac{OD}{BC}$，即$\frac{4\sqrt{3}-3}{4\sqrt{3}}$=$\frac{OD}{4}$，
解得，OD=4-$\sqrt{3}$，
∴阴影部分的面积=$\frac{1}{2}$×（OD+BC）×OC=12-$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，
故答案为：12-$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义，含30度角的直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，求出B点坐标及OD的长度是解题的关键．