Question

5．已知平行四边形ABCD中，AB=5，BC=$\frac{13}{2}$，E为AB中点，F是BC边上的一动点．
（1）如图①，若∠B=90°，作FG⊥CE交AD于点G，作GH⊥BC，垂足为H．求FH的长；
（2）如图②，若sinB=$\frac{3}{5}$，连接FA交CE于M，当BF为多少时，FA⊥CE？

Answer 1

分析 （1）由余角的性质可得∠BEC=∠GFH，根据AA可证△BEC∽△HFG，根据相似三角形的性质即可求得FH的长；
（2）作AT⊥BC，ER⊥BC，由余角的性质可得∠BEC=∠GFH，根据AA可证△BEC∽△HFG，根据相似三角形的性质即可求得FT的长，再根据线段的和差关系可得BF的长．

解答 解：（1）如图①，

∵∠FMC=∠B=90°，
∵∠GFH+∠BCE=∠BEC+∠BCE=90°，
∴∠BEC=∠GFH，
∴△BEC∽△HFG，
∴$\frac{BE}{FH}$=$\frac{BC}{GH}$，即$\frac{2.5}{FH}$=$\frac{6.5}{5}$，
解得FH=$\frac{25}{13}$；
（2）作AT⊥BC，ER⊥BC．

∵∠ERC=∠ATF=90°，
∵∠REC+∠RCE=∠AFC+∠FCE=90°，
∴∠REC=∠AFC，
∴△REC∽△TFA，
∴$\frac{RE}{FT}$=$\frac{RC}{AT}$，
∵AT=ABsinB=3，BT=4，ER=1.5，CR=4.5，
∴$\frac{1.5}{FT}$=$\frac{4.5}{3}$，
解得FT=1，
BF=BT-FT=3．

点评 考查了相似三角形的判定与性质，本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．