Question

11．如图，⊙O的半径为10，点M是AO延长线上的动点，⊙M和⊙O内切于点A，点C是⊙O上一点，连结AC交⊙M于点B，cos∠CAM=$\frac{3}{5}$，连结CM，设MO=x．
（1）设BC=y，求y关于x的函数解析式及定义域；
（2）当△BCM是等腰三角形时，求x的值；
（3）设CM与⊙O交于点D，当点C恰好是弧$\widehat{AD}$的中点时，求⊙M的半径．

Answer 1

分析 （1）先利用直径所对的圆周角是直角，得出FC∥EB，进而得出，△ACF∽△ABE，即$\frac{AC}{AB}=\frac{AF}{AE}$，代值即可得出结论；
（2）分三种情况计算，①当BM=CM时，判断出点C与点A重合，不符合题意，②当BC=BM时，建立方程$\frac{6}{5}$x=x+10求解即可，③当BC=CM时，建立方程），$\frac{\frac{1}{2}（x+10）}{\frac{6}{5}x}=\frac{3}{5}$，求解即可；
（3）先由$\widehat{AC}=\widehat{CD}$得出，∠AOC=∠DOC，进而判断出，∠ABM=∠CMB，即可得出CM=CB，求出圆M的半径．

解答 解：（1）如图1，
连接CF，BE，在⊙O中，AF是直径，
∴∠ACF=90°，
在Rt△ACF中，cos∠CAM=$\frac{3}{5}$，AF=20，
∴AC=12，CF=16，
∵AE是⊙M的直径，
∴∠ABE=90°，
∴FC∥EB，
∴△ACF∽△ABE，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AF}{AE}$，
∵AB=y+12，AF=20，AC=12，AE=2x+20，
∴$\frac{12}{y+12}=\frac{20}{2x+20}$，
∴y=$\frac{6}{5}$x（x＞0）；
（2）∵△BCM是等腰三角形，
∴①当BM=CM时．
∵BM是⊙M的半径，
∴点C在⊙M上，
即：点C与点A重合，不符合题意；
②当BC=BM时，BC=AM=x+10，
∵BC=y=$\frac{6}{5}$x，
∴$\frac{6}{5}$x=x+10，
∴x=50；
③当BC=CM时，如图2，
过点C作CG⊥BM，
∴BG=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{1}{2}$（x+10），
∵AM=BM，
∴∠CAM=∠ABM，
在Rt△BCG中，cos∠ABM=$\frac{BG}{BC}$=$\frac{3}{5}$，
∵BC=y=$\frac{6}{5}$x，BG=$\frac{1}{2}$（x+10），
∴$\frac{\frac{1}{2}（x+10）}{\frac{6}{5}x}=\frac{3}{5}$，
∴x=$\frac{250}{11}$；
即：x的值为50或$\frac{250}{11}$；
（3）如图3，连接OD，OC，
当点C恰好是$\widehat{AD}$的中点时，
∴∠AOC=∠DOC，
∴∠OCA=∠OCD，
∴∠DCA=2∠OCA，
∵∠OCA=∠ABM，
∴∠DCA=∠2∠ABM，
∴∠ABM=∠CMB，
∴CM=CB，
由（2）③知，x=OM=$\frac{250}{11}$，
∴AM=MO+OA=$\frac{250}{11}$+10=$\frac{360}{11}$
即⊙M的半径为$\frac{360}{11}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是分类讨论，用方程的思想求解．