Question

19．
（1）如图①，点E为斜边BC上一点，连接AE，以A为旋转中心，将AE顺时针旋转90°得AD，连接BD，则BE+BD=4$\sqrt{2}$．（直接写出结果）；
（2）在（1）的条件下，若点E是线段CB延长线上一点，如图②，其他条件不变，写出BE，BD之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）如图③，延长AB使得BT=AB，点E是线段CB延长线上一点，以T为旋转中心，将TE顺时针旋转90°得TD，连接BD，试探究BE．BD之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）先求出BC，再判断出∠CAE=∠BAD，进而得出△CAE≌△BAD，即可得出CE=BD，代换即可；
（2）同（1）的方法即可得出结论；
（3）先计算得出BE=$\sqrt{2}$MT+4$\sqrt{2}$，进而判断出，△EMT≌△TND即可判断出△BND是等腰直角三角形，最后代换即可得出结论．

解答 解：（1）∵等腰Rt△ABC中，AB=AC=4．
∴∠BAC=90°，BC=4$\sqrt{2}$，
由旋转得，AE=AD，∠DAE=90°，
∴∠CAE=∠BAD，
在△CAE和△BAD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠CAE=∠BAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△BAD，
∴CE=BD，
∴BE=BC-CE=4$\sqrt{2}$-BD，
∴BE+BD=4$\sqrt{2}$，
故答案为4$\sqrt{2}$
（2）同（1）的方法得出，△CAE≌△BAD，
∴CE=BD，
∴BE=CE-BC=BD-4$\sqrt{2}$，
∴BD-BE=4$\sqrt{2}$；
（3）如图，

过点E作EM⊥BA于M，
∴∠EMB=90°，
在Rt△EMB中，∠EBM=∠ABC=45°，
∴BE=$\sqrt{2}$BM=$\sqrt{2}$（MT+TB）=$\sqrt{2}$MT+$\sqrt{2}$TN=$\sqrt{2}$MT+4$\sqrt{2}$，
过点D作DN⊥AB于N，
∴∠DNB=90°，
∴∠DTN+∠NDT=90°，
由旋转得，TE=TD，∠ETD=90°，
∴∠ETM+∠DTN=90°，
∴∠NDT=∠ETM，
∴∠ETM+∠DTN，
∴∠NDT=∠ETM，
在△EMT和△TND中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EMT=∠TND=90°}\\{∠ETM=∠NDT}\\{TE=TD}\end{array}\right.$，
∴△EMT≌△TND，
∴MT=DN，BM=TN，
∴MT=BN，
∴DN=BN，
∵∠BND=90°，
∴△BND是等腰直角三角形，
∴DN=BN，BD=$\sqrt{2}$DN=$\sqrt{2}$MT，
∴BE=$\sqrt{2}$MT+4$\sqrt{2}$=BD+4$\sqrt{2}$，
∴BE-BD=4$\sqrt{2}$．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，得出△CAE≌△BAD是解本题的关键，（3）判断出BN=DN是解本题的难点，是一道比较简单的中考常考题．