Question

【题目】请阅读下列材料：

我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．

x2+6x+5=x2+2x3+32﹣32+5=（x+3）2﹣4，

∵（x+3）2≥0

∴当x=﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4．

请根据上述方法，解答下列问题：

（Ⅰ）x2+4x﹣1=x2+2x2+22﹣22﹣1=（x+a）2+b，则ab的值是_____；

（Ⅱ）求证：无论x取何值，代数式x2+2x+7的值都是正数；

（Ⅲ）若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值．

Answer 1

【答案】﹣10

【解析】

（Ⅰ）根据配方的过程求得a、b的值代入求值即可；

（Ⅱ）先利用完全平方公式配方，再根据偶次方非负数的性质列式求解；

（Ⅲ）先利用完全平方公式配方，再根据偶次方非负数的性质列式求解．

（Ⅰ）∵x2+4x﹣1=x2+2x2+22﹣22﹣1=（x+2）2﹣5=（x+a）2+b，

∴a=2，b=﹣5，

∴ab=2×（﹣5）=﹣10．

故答案是：﹣10；

（Ⅱ）证明：x2+2x+7=x2+2x+（）2﹣（）2+7=（x+）2+1．

∵（x+）2≥0，

∴x2+2x+7的最小值是1，

∴无论x取何值，代数式x2+2x+7的值都是正数；

（Ⅲ）2x2+kx+7=（x）+2x+（k）2﹣（k）2+7=（x+k）2﹣k2+7．

∵（x+k）2≥0，

∴（x+k）2﹣k2+7的最小值是﹣k2+7，

∴﹣k2+7=2，

解得k=±2．