Question

1．如图，两个反比例函数y₁=$\frac{{k}_{1}}{x}$（其中k₁＞0）和y₂=$\frac{3}{x}$在第一象限内的图象依次是C₁和C₂，点P在C₁上，矩形PCOD交C₂于A、B两点，OA的延长线交C₁于点E，EF⊥x轴于F点，且图中四边形BOAP的面积为6，则EF：AC为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先根据反比例函数y₂=$\frac{3}{x}$的解析式可得到S_△ODB=S_△OAC=$\frac{1}{2}$×3=$\frac{3}{2}$，再由阴影部分面积为6可得到S_矩形PDOC=9，从而得到图象C₁的函数关系式为y=$\frac{6}{x}$，再算出△EOF的面积，可以得到△AOC与△EOF的面积比，然后证明△EOF∽△AOC，根据对应边之比等于面积比的平方可得到EF﹕AC的值．

解答 解：如图，
∵B、C反比例函数y₂=$\frac{3}{x}$的图象上，
∴S_△ODB=S_△OAC=$\frac{1}{2}$×3=$\frac{3}{2}$，
∵P在反比例函数y₁=$\frac{{k}_{1}}{x}$的图象上，
∴S_矩形PDOC=k₁=6+$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$=9，
∴图象C₁的函数关系式为y=$\frac{9}{x}$，
∵E点在图象C₁上，
∴S_△EOF=$\frac{1}{2}$×9=$\frac{9}{2}$，
∴$\frac{{S}_{△EFO}}{{S}_{△ACO}}$=$\frac{\frac{9}{2}}{\frac{3}{2}}$=3，
∵AC⊥x轴，EF⊥x轴，
∴AC∥EF，
∴△EOF∽△AOC，
∴$\frac{EF}{AC}$=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，以及相似三角形的性质，关键是掌握在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|；在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是$\frac{1}{2}$|k|，且保持不变．