Question

在直角坐标系x0y中，一次函数y=

2

3

x+

2

的图象与x轴，y轴，分别交于A、B两点，点C坐标为（1，0），点D在x轴上，且∠BCD=∠ABD，求图象经过B、D两点的一次函数的解析式．

Answer 1

分析：点D在x轴上，且∠BCD=∠ABD，则D的位置可以在C的左侧，也可以在C的右侧，即D的横坐标x大于1和小于1两种情况．
当x＞1时，易证△BCD∽△ABD，CD、BD都可以利用x表示出来，根据相似三角形的对应边的比相等，即可得到关于x的方程，求得x的值，即可得到D的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的解析式；
当x＜1时，可证△ABC∽△ADB，与上面的方法相同，可以求得直线的解析式．

解答：解：∵点A、B分别是直线y=

2

3

x+

2

与x轴和y轴交点，
∴A（-3，0），B（0，

2

），
∵点C坐标（1，0）由勾股定理得BC=

3

，AB=

11

，
设点D的坐标为（x，0）．
（1）当点D在C点右侧，即x＞1时，
∵∠BCD=∠ABD，∠BDC=∠ADB，
∴△BCD∽△ABD，
∴

BC

AB

=

CD

BD

，
∴

3

11

=

|x-1|

x2+2

①
∴

3

11

=

x2-2x+1

x2+2

，∴8x²-22x+5=0，
∴x₁=

5

2

，x₂=

1

4

，经检验：x₁=

5

2

，x₂=

1

4

，都是方程①的根，
∵x=

1

4

，不合题意，∴舍去，∴x=

5

2

，∴D点坐标为（

5

2

，0）．
设图象过B、D两点的一次函数解析式为y=kx+b，

b= 2 5 2 k+b=0

  ∴

k=- 2 2 5 b= 2

∴所求一次函数为y=-

2 2

5

x+

2

；

（2）若点D在点C左侧则x＜1，可证△ABC∽△ADB，
∴

AD

AB

=

BD

CB

，∴

|x+3|

11

=

x2+2

3

②
∴8x²-18x-5=0，
∴x₁=-

1

4

，x₂=

5

2

，经检验x₁=-

1

4

，x₂=

5

2

，都是方程②的根．
∵x₂=

5

2

不合题意舍去，
∴x₁=-

1

4

，
∴D点坐标为（-

1

4

，0），
∴图象过B、D（-

1

4

，0）两点的一次函数解析式为y=4

2

x+

2

，
综上所述，满足题意的一次函数为y=-

2 2

5

x+

2

或y=4

2

x+

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，正确求得D的坐标是关键．