Question

如图，点E是△ABC的两条角平分线的交点．
（1）若∠A=80°，求∠BEC的度数；
（2）若∠BEC=130°，求∠A的度数；
（3）∠BEC能是直角吗？能是锐角吗？说明理由．

Answer 1

解：（1）∵∠A=80°（已知），
∴∠ABC+ACB=180°-80°=100°（三角形内角和定理），
∵BD，CF是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+ACB）=50°，
∴∠BEC=180°-50°=130°（三角形内角和定理）；

（2）∵∠BEC=130°，
∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+ACB）=180°-130°=50°（三角形内角和定理），
∴∠ABC+∠ACB=2×50°=100°，
∴∠A=180°-100°=80°（三角形内角和定理）；

（3）∠BEC不能是直角，也不能是锐角．理由：
∵∠BEC+（∠ABC+∠ACB）=180°，∠ABC+∠ACB＜180°，
∴180°-∠BEC＜90°，
∴∠BEC＞90°．
故∠BEC既不能是直角，也不能是锐角．
分析：（1）根据三角形的内角和定理，先求出∠ABC+∠ACB的度数，利用角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB的度数，再根据三角形内角和定理即可求出∠BEC的度数；
（2）与（1）的求解过程相反，根据三角形内角和定理先求出去∠ABC与∠ACB的度数的一半等于50°，再根据三角形的内角和定理即可求出∠A等于180°-2×50°；
（3）根据三角形的内角和定理∠ABC+∠ACB＜180°，又∠BEC+（∠ABC+∠ACB）=180°，代入求解即可得到∠BEC大于90°．
点评：本题主要考查三角形的内角和定理和角平分线的定义，熟练掌握定理和概念是解题的关键．