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【题目】已知,点O在线段AB上,AB=6,OC为射线,且BOC=45°.动P以每秒1个单位长度的速度从点O出发,沿射线OC做匀速运动.设运动时间为t 秒.

(1)如图1,若AO=2.

t=6秒时,则OP= ,SABP=

ABP与PBO相似时,求t的值;

(2)如图2,若点O为线段AB的中点,当AP=AB时,过点A作AQBP,并使得QOP=B,求AQBP的值.

【答案】(1)6;t=+4;(2)18.

【解析】

试题分析:(1)如图1中,作PEAB于E.求出PE的长,根据SAPB=ABPE,即可计算.

如图1中,过点B作OC的垂线,垂足为H,由ABP∽△PBO,得,即PB2=BOBA=24,推出BP=,再利用勾股定理求出OH、HP即可解决问题.

(2)如图中,作OEAP,交BP于点E.由QAO∽△OEP,得,即AQEP=EOAO,由三角形中位线定理得OE=3,推出AQEP=9,由此即可解决问题.

试题解析:(1)如图1中,作PEAB于E.

在RtOPE中,OP=6,POE=45°,

PE=OPsin45°=3

SAPB=ABPE=9

如图1中,过点B作OC的垂线,垂足为H,

∵△ABP∽△PBO,

PB2=BOBA=24,

BP=

在RtOHB中,∵∠BOH=45°,OB=4,

OH=HB=

在RtPHB中,PH==4

OP=+4,

t=+4(秒)时,ABP∽△PBO.

(2)如图中,作OEAP,交BP于点E.

AP=AB,

∴∠APB=B,

∴∠OEB=APB=B,

AQBP,

∴∠QAB+B=180°.

∵∠OEP+OEB=180°,

∴∠OEP=QAB,

∵∠AOC=2+B=1+QOP,

∵∠B=QOP,

∴∠AOQ=OPE,

∴△QAO∽△OEP,

,即AQEP=EOAO,

由三角形中位线定理得OE=3,

AQEP=9,

AQBP=AQ2EP=2AQEP=18.

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