Question

4．如图所示，已知点F的坐标为（3，0），点A，B分别是某函数图象与x轴、y轴的交点，点P是此图象上的一动点．设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系：d=5-$\frac{3}{5}$x（0≤x≤5），则下列结论：
①AF=2；  
②S_△POF的最大值是6；
③当d=$\frac{16}{5}$时，OP=$\frac{{12\sqrt{5}}}{5}$；  
④OA=5．
其中正确的有①②④（填序号）．

Answer 1

分析 当P和A重合时，PF=AF，则x-3=5-$\frac{3}{5}$x，求得OA=5，进一步求得AF=2，即可判断①④；当P和B重合时△POF的面积最大，此时x=0，代入d=5-$\frac{3}{5}$x，求得BF的长，求得S_△POF的最大值，即可判断②；把d=$\frac{16}{5}$代入d=5-$\frac{3}{5}$x求得点P的横坐标为3，证得PF⊥OA，然后根据勾股定理即可求得OP的长，即可判断③．

解答 解：当P和A重合时，PF=AF，
∴x-3=5-$\frac{3}{5}$x，
∴x=5，
∴OA=5，AF=OA-OF=5-3=2，故①④正确；
∵OF=3是定值，
∴当P和B重合时△POF的面积最大，
把x=0代入d=5-$\frac{3}{5}$x得d=5，则此时，BF=5，
∴OB=$\sqrt{B{F}^{2}-O{F}^{2}}$=4，
∴S_△POF的最大值=$\frac{1}{2}$OF•OB=$\frac{1}{2}$×3×4=6，故②正确；
当d=$\frac{16}{5}$时，则$\frac{16}{5}$=5-$\frac{3}{5}$x，解得x=3，
∵F（3，0），
∴PF⊥OA，
∴OP=$\sqrt{P{F}^{2}+O{F}^{2}}$=$\sqrt{（{\frac{16}{5}）}^{2}+{3}^{2}}$=$\frac{\sqrt{481}}{5}$，故③错误．
故答案为①②④．

点评 本题是一次函数的综合题，考查了一次函数的最值，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用等，熟练掌握一次函数的性质求得一次函数的最大值和最小值是解题的关键．