Question

1．已知等腰直角△ABC和等腰直角△BEF，∠ABC=∠BEF=90°，点M为AF的中点，连EM．
（1）如图1，点F在边BC上，求证；CF=2ME；
（2）如图2，将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转至如图2的位置，其它条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请证明你的结论；
（2）过B作BS⊥ME于S，如图3，若BF=$\sqrt{10}$，BS=$\sqrt{3}$，CF=6．求S_△MEF=？

Answer 1

分析 （1）延长EF交AB于D，如图1，则可判断△BED和△BEF为全等的等腰直角三角形，先证明ME为△FAD的中位线得到AD=2ME，再利用等腰直角三角形的性质和等量代换得到AD=CF，于是有CF=2ME；
（2）延长FE到点G，使EG=EF，如图2，连结AG、BG，先证明ME为△FAG的中位线得到AG=2ME，然后证明△ABG≌△CBF得到AG=CF，所以CF=2ME；
（3）如图3中，作FH⊥EM于H．易证△EFH≌△BES，推出FH=ES，求出ES、EM即可解决问题；

解答 （1）证明：延长EF交AB于D，如图1，
∵等腰直角△ABC和等腰直角△BEF，∠ABC=∠BEF=90°，
∴∠1=∠BFE=45°，
∴∠2=∠BDE=45°，
∴EF=ED=BE，
即BE垂直平分DF，
∵M点为AF的中点
而EF=ED，
∴ME为△FAD的中位线，
∴AD=2ME，
∵BD=BF，BA=BC，
∴AD=CF，
∴CF=2ME；

（2）解：中的结论仍成立．理由如下：
延长FE到点G，使EG=EF，如图2，连结AG、BG，
∵M点为AF的中点，
而EF=EG，
∴ME为△FAG的中位线，
∴AG=2ME，
∵△BEF为等腰直角三角形，
∴∠BEF=90°，BE=EF，
而EF=EG，
∴△BEG为等腰直角三角形，
∴∠BGE=∠EBG=45°，
∴△FBG为等腰直角三角形，
∴BF=BG，∠FBG=90°，
∵∠ABG+∠ABF=90°，∠CBF+∠ABF=90°，
∴∠ABG=∠CBF，
在△ABG和△CBF中
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠ABG=∠CBF}\\{BG=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△CBF，
∴AG=CF，
∴CF=2ME；

（3）解：如图作FH⊥EM于H．易证△EFH≌△BES，
∴FH=ES，
∵BF=$\sqrt{10}$，BE=EF，∠BEF=90°，
∴BE=EF=$\sqrt{5}$，
∵BS=$\sqrt{3}$，
∴FH=ES=$\sqrt{B{E}^{2}-B{S}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵CF=2EM，
∴EM=3，
∴S_△EMF=$\frac{1}{2}$•EM•FH=$\frac{1}{2}$•3•$\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了几何变换综合题：熟练掌握旋转的性质和等腰直角三角形的性质；利用线段中点构建三角形中位线得到线段之间的位置关系与数量关系；会利用全等三角形的知识解决线段相等的问题．