如图，在直角坐标系中，以点A（3，0）为圆心，以5为半径作圆与x轴相交于点B，C，与y轴相交于点D，E．分析 （1）连接AD，由垂径定理可求得D点坐标，且可求得C点坐标，代入抛物线解析式可求得其解析式；
（2）由抛物线解析式可求得对称轴，可得B、C关于对称轴对称，连接CD交对称轴于一点，则该点即为所求的P点，由C、D两点可求得直线CD的解析式，则可求得P点坐标；
（3）设M点的坐标，可表示出MQ的长，由平行四边形的性质可知BC∥MQ且BC=MQ，则可求MQ的长，可得到关于M点坐标的方程，可求得M点坐标．
解答 解：
（1）如图1，连接AD，
∵A（3，0），半径为5，
∴OC=OA+AC=3+5=8，
∴C（8，0），
在Rt△AOD中，AO=3，AD=5，
∴OD=4，
∴D（0，-4），
把C、D坐标代入抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{16+8b+c=0}\\{c=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{4}$x2-$\frac{3}{2}$x-4；
（2）在y=$\frac{1}{4}$x2-$\frac{3}{2}$x-4中，令y=0可得$\frac{1}{4}$x2-$\frac{3}{2}$x-4=0，解得x=-2或x=8，
∴点B（-2，0）在抛物线上，
∵y=$\frac{1}{4}$x2-$\frac{3}{2}$x-4=y=$\frac{1}{4}$（x-3）2-$\frac{25}{4}$，
∴抛物线对称轴为x=3，
∴B、C关于对称轴对称，
如图2，连接CD交对称轴于点P，
则PC=PB，
∴PD+PB=PD+PC=CD，
∴此时△PBD的周长最小，
设直线CD的解析式为y=kx+s，
∴$\left\{\begin{array}{l}{8k+s=0}\\{s=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{s=-4}\end{array}\right.$，
∴直线CD解析式为y=$\frac{1}{2}$x-4，
当x=3时，可得y=-$\frac{5}{2}$，
∴P点坐标为（3，-$\frac{5}{2}$）；
（3）设M点坐标为（x，$\frac{1}{4}$x2-$\frac{3}{2}$x-4），
∵四边形BCQM是平行四边形，
∴BC∥QM且BC=QM，
∵Q为对称轴上的点，
∴MQ=|x-3|，
∵BC=8，
∴|x-3|=8，解得x=11或x=-5，
当x=11或x=-5时，$\frac{1}{4}$x2-$\frac{3}{2}$x-4=$\frac{39}{4}$，
∴存在满足条件的点M，其坐标为（11，$\frac{39}{4}$）或（-5，$\frac{39}{4}$）．
点评 本题为二次函数的综合应用，涉及垂径定理、勾股定理、待定系数法、轴对称的性质、平行四边形的性质及方程思想等知识．在（1）中求得C、D的坐标是解题的关键，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中求得MQ的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
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