Question

17．将?ABCD（如图）绕点A旋转后，点D落在边AB上的点D′，点C落到C′，且点C′、B、C在一直线上．如果AB=13，AD=3，那么∠A的余弦值为$\frac{5}{13}$．

Answer 1

分析 根据平行四边形的性质得∠DAB=∠D′AB′，AB=AB′=C′D′=13，再由AB′∥C′D′得∠D′AB′=∠BD′C′，加上∠C=∠DAB，则∠C=∠BD′C′，接着由点C′、B、C在一直线上，AB∥CD得到∠C=∠C′BD′，所以∠C′BD′=∠BD′C′，可判断△C′BD′为等腰三角形，作C′H⊥D′B，根据等腰三角形的性质得BH=D′H，由于BD′=10得到D′H=5，然后根据余弦的定义得到cos∠HD′C′=$\frac{5}{13}$，由此得到∠A的余弦值．

解答 解：∵?ABCD绕点A旋转后得到?AB′C′D′，
∴∠DAB=∠D′AB′，AB=AB′=C′D′=13，
∵AB′∥C′D′，
∴∠D′AB′=∠BD′C′，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠C=∠DAB，
∴∠C=∠BD′C′，
∵点C′、B、C在一直线上，
而AB∥CD，
∴∠C=∠C′BD′，
∴∠C′BD′=∠BD′C′，
∴△C′BD′为等腰三角形，
作C′H⊥D′B，则BH=D′H，
∵AB=13，AD=3，
∴BD′=10，
∴D′H=5，
∴cos∠HD′C′=$\frac{D′H}{D′C′}$=$\frac{5}{13}$，
即∠A的余弦值为$\frac{5}{13}$．
故答案为$\frac{5}{13}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的性质．解决本题的关键是证明△C′BD′为等腰三角形．