Question

2．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（2$\sqrt{3}$，2），将线段OB绕点O顺时针旋转120°，点B的对应点是点B．
（1）①求点B绕点O旋转到点B₁所经过的路程长；
     ②在图中画出$\widehat{B{B}_{1}}$，并直接写出点B₁的坐标是（0，-4）；
（2）有7个球除了编号不同外，其他均相同，李南和王易设计了如下的一个规则：→装入不透明的甲袋→装入不透明的乙袋，李南从甲袋中，王易从乙袋中，各自随机地摸出一个球（不放回），把李南摸出的球的编号作为横坐标x，把王易摸出的球的编号作为纵坐标y，用列表法或画树状图法表示出（x，y）的所有可能出现的结果；
（3）李南和王易各取一次小球所确定的点（x，y）落在$\widehat{B{B}_{1}}$上的概率是$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）①先利用勾股定理计算出OB，然后根据弧长公式计算点B绕点O旋转到点B₁所经过的路程长；
②由①得∠BOH=30°，则线段OB绕点O顺时针旋转120°，点B的对应点是点B₁在y轴的负半轴上，于是可得到$\widehat{B{B}_{1}}$，再写出点B₁的坐标；
（2）利用树状图展示所有12种等可能的结果数；
（3）计算各点到原点的距离可判断点（x，y）落在$\widehat{B{B}_{1}}$上的结果数为2，然后根据概率公式求解．

解答 解：（1）①作BH⊥x轴于点H，
∵点B的坐标是（2$\sqrt{3}$，2），
∴BH=2，OH=2$\sqrt{3}$，
∴OB=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4，
∴B绕点O旋转到点B₁所经过的路程长=$\frac{120•π•4}{180}$=$\frac{8π}{3}$；
②如图，$\widehat{B{B}_{1}}$为所作，点B₁的坐标是（0，-4）；
（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数；
（3）点（x，y）落在$\widehat{B{B}_{1}}$上的结果数为2，
所以点（x，y）落在$\widehat{B{B}_{1}}$上的概率=$\frac{2}{12}$=$\frac{1}{6}$．
故答案为（0，-4），$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了弧长公式和树状图法．