Question

14．一次函数y=2x+16分别交x轴、y轴与点M、N，且P在第二象限内位于直线MN左侧的一个动点，△MNP正好构成一个以MN为直角边的等腰直角三角形．
（1）求P点的坐标；
（2）在直线x=-1上存在点Q，使得S_△MNQ=S_△MNP，请求出Q点坐标．

Answer 1

分析 （1）作PS⊥坐标轴于S．通过证得△PMS≌△MNO（AAS），得到PS=OM=8，SM=NO=16，即可求得P的坐标．
（2）根据同底等高的三角形面积相等，只要求得直线P₁P₂与直线x=-1的交点即可，从而求得符合题意的Q点的坐标．

解答 解：（1）如图，作PS⊥坐标轴于S．
∵一次函数y=2x+16分别交x轴、y轴与点M、N，
∴M（-8，0），N（0，16），
∵△MNP是以MN为直角边的等腰直角三角形．
∴PM=MN，∠PMN=90°，
∴∠PMS=∠MNO，
在△PMS和△MNO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PMS=∠MNO}\\{∠PSM=∠MON=90°}\\{PM=MN}\end{array}\right.$，
∴△P₁MS≌△MNO（AAS），
∴P₁S=OM=8，SM=NO=16，
∴P₁（-24，8）
同理证得P₂（-16，24），
∴P（-24，8）或（-16，24）；
（2）∵P₁（-24，8），P₂（-16，24），
∴直线P₁P₂的解析式为y=2x+56，
把x=-1代入得，y=-2+56=54，
∴Q₁（-1，54），此时S_△MNQ=S_△MNP，
∵直线x=-1与MN交于（-4，8），
∴Q₂（-1，-38）．
故出Q点坐标为（-1，54）或（-1，-38）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，还考查了等腰直角三角形的性质，要熟练掌握．