Question

8．如图，抛物线y=$\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}$-4$\sqrt{3}$x+6$\sqrt{3}$与x轴交于A、B，点P为顶点，在x轴下方的抛物线上是否存点M，使△AMP≌△AMB？若存在，求出直线AM的解析式，若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析 过点P作x轴的垂线，垂足为C，证出△APB是等边三角形，作∠PAB的平分线交抛物线于M点，连接PM，BM，由AM=AM，∠PAM=∠BAM，AB=AP得到△AMP≌△AMB，求出∠PAB的平分线与对称轴x=4的交点坐标，运用待定系数法求出直线AM的解析式．

解答 解：抛物线y=$\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}$-4$\sqrt{3}$x+6$\sqrt{3}$与x轴交于A、B，点P为顶点，
∴A（2，0），B（6，0），P（4，-2$\sqrt{3}$），
过点P作x轴的垂线，垂足为C，则PC=2$\sqrt{3}$，AC=2，
由勾股定理，可得AP=4，PB=4，又AB=4，
所以△APB是等边三角形，
只要作∠PAB的平分线交抛物线于M点，
连接PM，BM，
在△AMP和△AMB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AM}\\{∠PAM=∠BAM}\\{AB=AP}\end{array}\right.$，
∴△AMP≌△AMB．
因此即存在这样的点M，使△AMP≌△AMB．
设∠PAB的平分线与抛物线的对称轴x=4交于一点N，
点N的坐标为（4，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
设直线AM的解析式为y=kx+b，则
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{4k+b=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AM的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查了抛物线与x的交点以及数形结合思想和待定系数法求解析式，发现∠PAB的平分线交抛物线于M点，使得△AMP≌△AMB是解决本题的关键．