Question

3．已知：如图，在正方形ABCD中，M在CB延长线上，N在DC延长线上，∠MAN=45°，AH⊥MN，垂足为H，求证：
（1）MN=DN-BM；
（2）AH=AB．

Answer 1

分析 （1）在DN上截取DE=MB，连接AE，证△ABM≌△ADE，推出AM=AE；∠MAB=∠EAD，求出∠EAN=∠MAN，根据SAS证△AMN≌△AEN，推出MN=EN即可；
（2）由（1）证得△AMN≌△AEN，根据全等三角形的性质得到∠MAN=∠NAE，根据角平分线的性质得到AH=AD，由等量代换即可得到结论．

解答 证明：（1）如图，在DN上截取DE=MB，连接AE，
在正方形ABCD中，
∵AD=AB，∠D=∠ABM=90°，
在△ABM与△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠D=∠ABM}\\{BM=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ADE，
∴AM=AE，∠MAB=∠EAD，
∵∠MAN=45°=∠MAB+∠BAN，
∴∠DAE+∠BAN=45°，
∴∠EAN=90°-45°=45°=∠MAN，
在△AMN和△AEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AE}\\{∠MAN=∠EAN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△AMN≌△AEN，
∴MN=EN，
∵DN-DE=EN，
∴DN-BM=MN；

（2）由（1）证得△AMN≌△AEN，
∴∠MAN=∠NAE，
∵AH⊥MN，AD⊥CD，
∴AH=AD，
∵AD=AB，
∴AH=AB．

点评 本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．