Question

如图，已知△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，BC=6，∠B=30°，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于F．
（1）求证：FE是⊙O的切线．
（2）求AB的长．

Answer 1

分析：（1）连接OE，根据同位角相等，证明EO∥AC，又知EG⊥AC，故能得到EG⊥OE，
（2）过点O作OH⊥BE，在Rt△BOH中解得BH、BE，又知EO∥AC等条件，AB=2BE．

解答：（1）证明：连接OE．（1分）
∵OB=OE，
∴∠B=∠BEO．
∵BC=AC，
∴∠B=∠A，
∴∠BEO=∠A．
∴EO∥AC（4分）
∵EG⊥AC，
∴EG⊥OE．
又点E在⊙O上，
∴FE是⊙O的切线．（5分）

（2）解：过点O作OH⊥BE；（6分）
在Rt△BOH中，OB=3，∠B=30°，
∴cos30°=

BH

BO

．
∴BH=

3

2

3

．
∴BE=2BH=3

3

．（7分）
∵EO∥AC，OB=OC，
∴BE=AE．
∴AB=2BE=6

3

．（8分）

点评：本题考查了切线的判定等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．