Question

（2013•峨眉山市二模）如图，AC是⊙O直径，△ABC内接于⊙O，E是BC边上一个动点（与B、C不重合），连结AE，并延长交⊙O于点D，连结CD．已知⊙O的半径为1，∠BAC=60°．
（1）当E为BC的中点时，求

AE

CD

的值；
（2）设CE为x，求

AE

CD

的值（用含x的代数式表示）；
（3）能否找到一个点E，使得

AE

CD

=8-2

3

？如果能，求出点E的位置；如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出BC、BE、CE的长，根据勾股定理求出AE，证△AEB∽△CED，得出比例式，求出DC，代入求出即可；
（2）求出BC、BE、CE的长，根据勾股定理求出AE，证△AEB∽△CED，得出比例式，求出DC，代入求出即可；
（3）根据（2）的结果得出方程，求出发出的解即可．

解答：解：（1）∵AC是⊙O直径，
∴∠ABE=∠ADC=90°，
∵∠BAC=60°，AC=1+1=2，
∴∠BCA=30°，
∴AB=1，由勾股定理得：BC=

3

，
∵E为BC的中点，
∴CE=BE=

3

2

，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=

12+( 3 2 )2

=

7

2

，
∵∠ABE=∠ADC=90°，∠AEB=∠DEC，
∴△AEB∽△CED，
∴

AB

DC

=

AE

CE

，
∴CD=

1× 3 2

7 2

=

21

7

，
∴

AE

CD

=

7 2

21 7

=

7 3

6

．

（2）∵CE=x，
∴BE=

3

-x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=

12+( 3 -x)2

，
∵∠ABE=∠ADC=90°，∠AEB=∠DEC，
∴△AEB∽△CED，
∴

AB

DC

=

AE

CE

，
∴CD=

x

12+( 3 -x)2

，
∴

AE

CD

=

12+( 3 -x)2

x 12+( 3 -x)2

=

4-2 3 x+x2

x

．

（3）假设存在E点，使得

AE

CD

=8-2

3

，
则

4-2 3 x+x2

x

=8-2

3

，
解得：x=4+2

3

（大于直径AC的长2，舍去），x=4-2

3

，
即存在E点，使得

AE

CD

=8-2

3

，此时CE=4-2

3

．

点评：本题考查了圆周角定理，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，相似三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．