Question

4．如图1，在Rt△ACB中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过B、C两点作过点A的直线l的垂线，垂足为D、E；
（1）如图1，当D、E两点在直线BC的同侧时，①猜想，BD、CE、DE三条线段有怎样的数量关系？并说明理由．②若线段BD=a，CE=b．请你求出△ABC的面积（用含a，b的代数式表示）；
（2）如图2，当D、E两点在直线BC的两侧时，BD、CE、DE三条线段的数量关系为BD+DE=CE；
（3）如图3，∠BAC=90°，AB=22，AC=28．点P从B点出发沿B→A→C路径向终点C运动；点Q从C点出发沿C→A→B路径向终点B运动．点P和Q分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，只要有一点到达相应的终点时两点同时停止运动；在运动过程中，分别过P和Q作PF⊥l于F，QG⊥l于G．问：点P运动多少秒时，△PFA与△QAG全等？（直接写出结果即可）

Answer 1

分析 （1）①根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；
②根据勾股定理求出AC²，根据${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AC•AB=\frac{1}{2}A{C}^{2}$，即可解答．
（2）由垂线的定义和角的互余关系得出∠ADB=∠AEC=90°，∠BAD=∠ACE，由AAS证明△ABD≌△CAE，得出对应边相等BD=AE，AD=CE，由AE+DE=AD，即可得出结论．
（3）分类讨论：当点P在BA上，点Q在AC上，如图1，则PB=2t，CQ=3t，AP=22-2t，AQ=28-3t，利用三角形全等得PA=AQ，即22-2t=28-3t；当点P在AC上，点Q在AB上，如图2，则PA=2t-22，AQ=3t-28，由PA=AQ，即2t-22=3t-28；当点Q停在点B处，点P在AC上，由PA=QA得2t-22=22，然后分别解方程求出t，再根据题意确定t的值

解答 解：（1）①∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CAE}\\{∠BDA=∠CEA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
②∵AE=BD，BD=a，
∴AE=a，
在Rt△AEC中，AC²=AE²+CE²=a²+b²，
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AC•AB=\frac{1}{2}A{C}^{2}$=$\frac{1}{2}（{a}^{2}+{b}^{2}）$．
（2）BD+DE=CE；如图2，

理由如下：
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠CAD+∠ACE=90°，
∴∠BAD=∠ACE，
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠ACE}\\{∠ADB=∠AEC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE+DE=AD，
∴BD+DE=CE．
故答案为：BD+DE=CE．
（3）：①当点P在BA上，点Q在AC上，如图3，

则PB=2t，CQ=3t，AP=22-2t，AQ=28-3t，
∵△PFA与△QAG全等，
∴PA=AQ，即22-2t=28-3t，解得t=6，
即P运动6秒时，△PFA与△QAG全等；
②当点P在AC上，点Q在AB上，如图4，

则PA=2t-22，AQ=3t-28，∵△PFA与△QAG全等，
∴PA=AQ，即2t-22=3t-28，解得t=6，舍去；
即P运动6秒时，△PFA与△QAG全等，
当点Q停在点B处，点P在AC上，由PA=QA得2t-22=22，解得t=22，舍去．
综上所述：当t等于6时，△PFA与△QAG全等．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、垂线的定义、角的互余关系；熟练掌握全等三角形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．