Question

13．在平面直角坐标系中，⊙O是以原点为圆心，5个单位长为半径的圆，直线l的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+6，则直线l与⊙O的位置关系是相交．

Answer 1

分析 首先由直线l的解析式求出直线l与坐标轴的交点坐标，得出OA、OB的长，由勾股定理求出AB，由△AOB的面积关系求出OC，d＜半径，即可得出结论．

解答 解：如图所示：
直线y=$\frac{3}{4}$x+6，当x=0时，y=6；当y=0时，x=-8，
∴直线y=$\frac{3}{4}$x+6与坐标轴的交点为A（0，6），B（-8，0），
∴OA=6，OB=8，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=10；
作OC⊥AB于C，
∵△AOB的面积=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$OA•OB，
∴OC=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{6×8}{10}$=4.8，
即直线l到圆心的距离d=4.8，
又∵⊙O的半径为5，
∴d＜5，
∴直线l与⊙O相交；
故答案为：相交．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、直角三角形面积的计算方法；由三角形的面积关系求出直线到圆心的距离是解决问题的关键．