Question

6．在平面直角坐标系中，抛物线y=-$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A的坐标为（-3，0），tan∠CAB=$\frac{1}{2}$，直线x=m（-1≤m＜0）交抛物线于点P，与直线AC交于点Q．
（1）求该抛物线的解析式和点B的坐标；
（2）求出四边形ABCP的面积S的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）当直线x=m正好是抛物线的对称轴时，在抛物线上找点D，使得S_△APD=4S_△QBC，求出符合条件的D点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据正切函数，可得OC的长，根据待定系数法，可得函数解析式，根据函数值为零，可得方程，根据解方程，可得答案；
（2）根据图形面积的分割法，可得函数解析式，根据二次函数的顶点是函数的最值，可得答案；
（3）根据待定系数法，可得AC的解析式，根据勾股定理，可得AC的长，根据图形面积分割法，可得S_△CQB，根据S_△APD=4S_△QBC，可得关于D点横坐标的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）由A的坐标为（-3，0），tan∠CAB=$\frac{1}{2}$，得
OC=$\frac{3}{2}$，
将A点坐标代入函数解析式，得
-$\frac{1}{2}$×（-3）²-3b+$\frac{3}{2}$=0．
解得b=-1，
函数解析式y=-$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{3}{2}$，
当y=0时，-$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{3}{2}$=0，
解得x=-3或x=1，
即B（1，0）；
（2）设P（m，-$\frac{1}{2}$m²-m+$\frac{3}{2}$），AC的解析式为y=kx+b，
将A、C点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
AC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$，
当x=m时，y=$\frac{1}{2}$m+$\frac{3}{2}$，即Q（m，$\frac{1}{2}$m+$\frac{3}{2}$），
S_四边形ABC=S_△APC+S_ABC=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}$²-m+$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$m-$\frac{3}{2}$）×3+$\frac{1}{2}$（1+3）×$\frac{3}{2}$
=-$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{4}$m+3=-$\frac{3}{4}$（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{16}$，
当m＞-$\frac{3}{2}$时，S随m的增大而减小，
当m=-1时，S_{四边形ABC最大}=-$\frac{3}{4}$×（-1）²-$\frac{9}{4}$×（-1）+3=$\frac{9}{2}$，
-$\frac{1}{2}$m²-m+$\frac{3}{2}$=2，
P（-1，2）；
（3）设D点坐标为（a，-$\frac{1}{2}$a²-a+$\frac{3}{2}$），
当x=-1时，y=2，即P（-1，2），
设AP的解析式为y=kx+b，将A、P点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{-k+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
AP的解析式为y=x+3，
AC=$\sqrt{（3-1）^{2}+（0-2）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
当x=-1时，y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$=1，即Q（-1，1），
S_△CQB=S_△ABC-S_△ABQ=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$×4×1=1．
S_△APD=4S_△QBC=4，
$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\frac{|a-（-\frac{1}{2}{a}^{2}-a+\frac{3}{2}）+3|}{\sqrt{2}}$=4，
化简，得
a²+3a+3=8或a²+3a+3=-8，
解a²+3a+3=8得
a₁=$\frac{-3+\sqrt{29}}{2}$，a₂=$\frac{-3-\sqrt{29}}{2}$；a²+3a+3=-8方程无解，
当a₁=$\frac{-3+\sqrt{29}}{2}$时，-$\frac{1}{2}$a²-a+$\frac{3}{2}$=$\frac{-19-\sqrt{29}}{8}$，即D₁（$\frac{-3+\sqrt{29}}{2}$，$\frac{-19-\sqrt{29}}{8}$）
当a₂=$\frac{-3-\sqrt{29}}{2}$时，-$\frac{1}{2}$a²-a+$\frac{3}{2}$=$\frac{-7-\sqrt{29}}{4}$，即D₂（$\frac{-3-\sqrt{29}}{2}$，$\frac{-7-\sqrt{29}}{4}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用图形分割法求图形的面积得出函数解析式是解题关键，又利用了二次函数的性质；（3）利用S_△APD=4S_△QBC得出关于D点横坐标的方程是解题关键．