Question

1．已知抛物线 y₁=-x²+bx+c与直线y₂=kx相交于点O（0，0）、点A（3，3）
（1）求b、c、k；
（2）已知直线x=t与抛物线交于点M，与直线y₂=kx交于点N
①当点N在OA上时求出线段MN的长a与t的函数关系式，并求出a的最大值；
②以MN为直径作圆，问是否存在这样的t使以MN为直径的圆与y轴相切？如果存在请求出t值，如果不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意，抛物线 y₁=-x²+bx+c与直线y₂=kx相交于点O（0，0）、点A（3，3），根据待定系数法可求得b、c、k的值．
（2）①由直线x=t与抛物线交于点M，与直线y₂=kx交于点N，可以求得点M、N的纵坐标，从而求得线段MN的长a与t的函数关系式，进而求得a的最大值．
②根据①中MN的长a与t的函数关系式和以MN为直径的圆与y轴相切，可以列出关系式，从而求得t的值．

解答 解：（1）∵抛物线 y₁=-x²+bx+c与直线y₂=kx相交于点O（0，0）、点A（3，3）．
∴3=k×3，$\left\{\begin{array}{l}{0=c}\\{3=-9+3b+c}\end{array}\right.$．
解得k=1，b=4，c=0．
（2）①∵直线x=t与抛物线交于点M，与直线y₂=kx交于点N．
∴点M的纵坐标为：-t²+4t，点N的纵坐标为：t．
∴|MN|=-t²+4t-t=-t²+3t．
即a=-t²+3t，（0≤t≤3）．
∴$a=-（{t-\frac{3}{2}）}^{2}+\frac{9}{4}$
∴当t=$\frac{3}{2}$时，a取得最大值$\frac{9}{4}$．
故a与t 的函数关系式为：a=-t²+3t，（0≤t≤3），a的最大值是$\frac{9}{4}$．
②存在．
∵以MN为直径的圆与y轴相切，①中MN的长a与t 的函数关系式为：a=-t²+3t．
∴$\frac{-{t}^{2}+3t}{2}=t$．
解得t₁=0，t₂=1．
当t=0时，不符合要求，故以MN为直径的圆与y轴相切时，t的值为1．

点评 本题考查二次函数系数的求法，正比例函数k的求值；根据题意列出函数关系式，求最值的问题；探索性问题．关键是可以根据题目中的信息，进行灵活变化求出问题的答案．