Question

13．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．
（1）求m的值及这个二次函数的关系式；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P不与A、B重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x的函数关系式；
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出该点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设顶点式y=a（x-1）²，再把A点坐标代入可求出a=1，于是得到抛物线解析式为y=（x-1）²，即y=x²-2x+1，易得B（0，1），然后把B点坐标代入y=x+m即可得到m的值；
（2）根据二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征，设P（x，x+1），则E（x，x²-2x+1），然后求两点的纵坐标之差即可得到h与x的函数关系式；
（3）先求出D（1，2）得到CD=2，根据平行四边形的判定方法，当CD=PE时，四边形DCEP是平行四边形，即h=2，所以-x²+3x=2，然后解方程即可得到P点坐标．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）²，
把A（3，4）代入得4a=4，解得a=1，
所以抛物线解析式为y=（x-1）²，即y=x²-2x+1，
当x=0时，y=x²-2x+1=1，则B（0，1），
把B（0，1）代入y=x+m得m=1；
（2）直线AB的解析式为y=x+1，
设P（x，x+1），则E（x，x²-2x+1），
所以PE=x+1-（x²-2x+1）=-x²+3x，
即h=-x²+3x（0＜x＜3）；
（3）存在．
当x=1时，y=x+1=2，则D（1，2），
所以CD=2，
∵CD∥PE，
∴当CD=PE时，四边形DCEP是平行四边形，
即-x²+3x=2，
整理得x²-3x+2=0，解得x₁=1（舍去），x₂=2，
∴点P的坐标为（2，3）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征；会运用待定系数法求二次函数的解析式；掌握平行四边形的判定方法．