Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（x₁，0）、（2，0），且-2＜x₁＜-1，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，则下列结论：①abc＜0；②b²＞4ac；③2a+b+1＜0；④2a+c＞0．则其中正确结论的序号是

1. A.
   ①②
2. B.
   ②③
3. C.
   ①②④
4. D.
   ①②③④

Answer 1

C
分析：由于抛物线过点（x₁，0）、（2，0），且-2＜x₁＜-1，与y轴正半轴相交，则得到抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，于是可判断a＜0，b＞0，c＞0，所以abc＜0；利用抛物线与x轴有两个交点得到b²-4ac＞0，即b²＞4ac；由于x=2时，y=0，即4a+2b+c=0，变形得2a+b+=0，则根据0＜c＜2得2a+b+1＞0；根据根与系数的关系得到2x₁=，即x₁=，所以-2＜＜-1，变形即可得到2a+c＞0．
解答：如图，
∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（x₁，0）、（2，0），且-2＜x₁＜-1，与y轴正半轴相交，
∴a＜0，c＞0，对称轴在y轴右侧，即x=-＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b²-4ac＞0，即b²＞4ac，所以②正确；
当x=2时，y=0，即4a+2b+c=0，
∴2a+b+=0，
∵0＜c＜2，
∴2a+b+1＞0，所以③错误；
∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（x₁，0）、（2，0），
∴方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁，2，
∴2x₁=，即x₁=，
而-2＜x₁＜-1，
∴-2＜＜-1，
∵a＜0，
∴-4a＞c＞-2a，
∴2a+c＞0，所以④正确．
故选C．
点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b²-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b²-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b²-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．