Question

如图，RT△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE为圆的切线；
（2）若BC=5，sin∠C=，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD、BD，
∵AB为圆O的直径，
∴∠BDA=90°，
∴∠BDC=180°-90°=90°，
∵E为BC的中点，
∴DE=BC=BE，
∴∠EBD=∠EDB，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∵∠EBD+∠DBO=90°，
∴∠EDB+∠ODB=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE是圆0的切线．

（2）解：∵sin∠C=，
∴设AB=3x，AC=5x，
根据勾股定理得：（3x）²+5²=（5x）²，
解得x=．
AC=5×=．
由切割线定理可知：5²=（-AD），
解得，AD=．
分析：（1）连接OD、BD，根据圆周角定理求出∠BDA=∠BDC=90°，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质求出∠ECD=∠EDC，∠EBD=∠EDB即可．
（2）根据BC=5，sin∠C=，求出AC的长，再根据切割线定理求出AD的长即可．
点评：本题主要考查对勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．