Question

11．在矩形ABCD中，AB=5，BC=8，将矩形ABCD沿某直线翻折，点D的对应点D′落在直线AB上，且AD′=4，点C的对应点C′与A连接，则AC′=$\sqrt{65}$．

Answer 1

分析 将矩形ABCD沿直线FG翻折，交AD于F，交BC于G，连接D′F，作C′E⊥AB，交AB的延长线于E，设AF=x，DF=FD′=8-x，由勾股定理得：x²+4²=（8-x）²，解得：x=3，得出FD′=5，证得△AD′F∽△C′ED′，则$\frac{AF}{D′E}$=$\frac{AD′}{EC′}$=$\frac{D′F}{D′C′}$，即可求得D′E=3，EC′=4，AE=7，由勾股定理得：AC′=$\sqrt{A{E}^{2}+EC{′}^{2}}$即可得出结果．

解答 解：将矩形ABCD沿直线FG翻折，交AD于F，交BC于G，连接D′F，作C′E⊥AB，交AB的延长线于E，如图所示：
由折叠的性质得：DC=D′C′=5，DF=FD′，∠FD′C′=90°，
设AF=x，
∴DF=FD′=8-x，
在Rt△AFD′中，由勾股定理得：AF²+AD′²=FD′²，
即x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴FD′=5，
∵∠AD′F+∠ED′C′+∠FD′C′=180°，
∴∠AD′F+∠ED′C′=90°，
∵∠D′AF=∠D′EC′=90°，
∴△AD′F∽△C′ED′，
∴$\frac{AF}{D′E}$=$\frac{AD′}{EC′}$=$\frac{D′F}{D′C′}$，
即$\frac{3}{D′E}$=$\frac{4}{EC′}$=$\frac{5}{5}$，
∴D′E=3，EC′=4，
∴AE=7，
在Rt△AEC′中，由勾股定理得：AC′=$\sqrt{A{E}^{2}+EC{′}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{65}$．
故答案为：$\sqrt{65}$．

点评 本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握翻折变换的性质，运用勾股定理和证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．