Question

如图，等边△ABC中，D、E分别为AB、BC边的延长线上的点，且BD=CE，DC的延长线交AE于点F，AG⊥CD于点G．
（1）求证：△ACE≌△CBD；
（2）若AF=，试求FG的长．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠DBC=180°-60°=120°，
同理∠ECA=120°，
∴∠DBC=∠ECA，
∴△DBC≌△ECA（SAS），
即△ACE≌△CBD；

（2）解：由（1）知△ACE≌△CBD，
∴∠CAE=∠BCD，∠D=∠E，
∵∠ABC=∠D+∠BCD=60°，
∴∠E+∠BCD=60°，
又∵∠AFC=∠E+∠ECF，∠ECF=∠BCD，
∴∠AFC=∠E+∠BCD=60°，
∵AG⊥DC，
∴∠GAF=30°，
∵AF=，
∴AF=3，
在Rt△AGF中，GF=AF=×3=．
分析：（1）由△ABC是等边三角形易得∠ABC=∠ACB=60°，AC=BC，利用三角形外角性质，可求∠DBC=∠ECA=120°，从而利用SAS可证△ACE≌△CBD；
（2）由（1）中三角形全等可得∠CAE=∠BCD，∠D=∠E，结合三角形外角的性质，易求∠AFC=60°，进而可求∠GAF=30°，利用直角三角形中30°的角所对的边等于斜边的一半，可求GF．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角形外角的性质、含有30°角的直角三角形的性质、二次根式的化简，解题的关键是证明△ACE≌△CBD，并求出∠GAF．