Question

问题探索：
（1）已知一个正分数

n

m

（m＞n＞0），如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大还是减小？请证明你的结论．
（2）若正分数

n

m

（m＞n＞0）中分子和分母同时增加2，3…k（整数k＞0），情况如何？
（3）请你用上面的结论解释下面的问题：
建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）使用作差法，对两个分式求差，有

n

m

-

n+1

m+1

=

n-m

m(m+1)

，由差的符号来判断两个分式的大小．
（2）由（1）的结论，将1换为k，易得答案，
（3）由（2）的结论，可得一个真分数，分子分母增大相同的数，则这个分数整体增大；结合实际情况判断，可得结论．

解答：解：（1）

n

m

＜

n+1

m+1

（m＞n＞0）
证明：∵

n

m

-

n+1

m+1

=

n-m

m(m+1)

，
又∵m＞n＞0，
∴

n-m

m(m+1)

＜0，
∴

n

m

＜

n+1

m+1

．

（2）根据（1）的方法，将1换为k，有

n

m

＜

n+k

m+k

（m＞n＞0，k＞0）．

（3）设原来的地板面积和窗户面积分别为x、y，增加面积为a，
由（2）的结论，可得一个真分数，分子分母增大相同的数，则这个分数整体增大；
则可得：

y+a

x+a

＞

y

x

，
所以住宅的采光条件变好了．

点评：本题考查分式的性质与运算，涉及分式比较大小的方法（做差法），并要求学生对得到的结论灵活运用．