Question

11．如图，五边形ABCDE为⊙O的内接五边形，$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，$\widehat{AE}$=$\widehat{ED}$，BD、BE分别与AC交于点F、G，AD与BE交于点H．
（1）求证：AG²=BG•EH；
（2）若AG=3，BF=4，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明AG=AH，△ABG∽△EAH即可解决问题．
（2）首先证明CB=CG，设CB=CG=x，由△CBF∽△CAB，推出CB²=CF•CA，可得x²=4（x+3），解得x=6或-2（舍弃），推出BC=CG=6，FG=2，由△CBG∽△AHG，可得$\frac{BG}{GH}$=$\frac{BC}{AH}$=2，设BG=a，则GH=$\frac{1}{2}$a，由AG²=BG•EH，推出EH=$\frac{9}{a}$，由△CGB∽△EGA，可得BG•GE=AG•GC，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）∵$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，
∴∠AEB=∠BAC，
∵$\widehat{AE}$=$\widehat{DE}$，
∴∠ABE=∠EAD，
∵∠AGH=∠BAC+∠ABE，∠AHG=∠AEB+∠EAD，
∴∠AGH=∠AHG，
∴AG=AH，△ABG∽△EAH，
∴$\frac{BG}{AH}$=$\frac{AG}{EH}$，
∴AG²=BG•EH．

（2）∵$\widehat{AB}$=$\widehat{CB}$=$\widehat{CD}$，
∴∠BCF=∠CAD=∠ACB，
∴BC∥AD，BF=CF=4，
∴△BCG∽△HAG，
∴∠CBG=∠AHG=∠CGB=∠AGH，
∴CB=CG，设CB=CG=x，
∵∠BCF=∠BCA，∠CBF=∠CAB，
∴△CBF∽△CAB，
∴CB²=CF•CA，
∴x²=4（x+3），
∴x=6或-2（舍弃），
∴BC=CG=6，FG=2，
∵△CBG∽△AHG，
∴$\frac{BG}{GH}$=$\frac{BC}{AH}$=2，设BG=a，则GH=$\frac{1}{2}$a，
∵AG²=BG•EH，
∴EH=$\frac{9}{a}$，
∵△CGB∽△EGA，
∴BG•GE=AG•GC，
∴x（$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{x}$）=18，
∴x=3$\sqrt{2}$，
∴BE=BG+GH+EH=3$\sqrt{2}$+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+$\frac{9}{3\sqrt{2}}$=6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用方程的思考思考问题，属于中考压轴题．